Rumus Barisan Geometri dan Contoh Soal Lengkapnya – Barisan geometri adalah sebuah rangkaian bilangan yang setiap bilangannya memiliki rasio atau perbandingan tetap antara suku-suku berurutnya. Rasio atau perbandingan ini disebut dengan rasio geometri atau rasio beda geometri.
Contohnya, dalam sebuah barisan geometri dengan rasio 2, maka setiap bilangan berikutnya selalu dua kali lebih besar dari bilangan sebelumnya. Sehingga barisan geometri dengan tiga bilangan pertama 2, 4, dan 8 merupakan contoh dari barisan geometri dengan rasio 2.
Baca Juga: Rumus Barisan Aritmatika Beserta Contoh Lengkapnya
Rumus Barisan Geometri dan Contoh Soal Lengkapnya
Rumus Barisan Geometri
Rumus untuk menghitung suku ke-n dari sebuah barisan geometri adalah:
an = a x r^(n-1)
di mana:
an = suku ke-n yang ingin dicari
a = suku pertama dalam barisan geometri
r = rasio atau perbandingan antara suku-suku berurutan dalam barisan geometri
n = urutan suku yang ingin dicari
Rumus untuk menghitung jumlah n suku pertama dari sebuah barisan geometri adalah:
Sn = a x ((1 – r^n) / (1 – r))
di mana:
Sn = jumlah n suku pertama yang ingin dicari
a = suku pertama dalam barisan geometri
r = rasio atau perbandingan antara suku-suku berurutan dalam barisan geometri
n = jumlah suku yang ingin dicari
Rumus tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah yang berkaitan dengan barisan geometri, seperti menemukan suku ke-n atau menjumlahkan sejumlah suku pertama.
Contoh Soal dan Penyelesaian
Berikut ini adalah tiga contoh soal menggunakan rumus barisan geometri beserta jawabannya:
Contoh Soal 1:
Diketahui sebuah barisan geometri dengan suku pertama 2 dan rasio 3. Tentukanlah suku ke-5 dari barisan tersebut.
Jawaban:
Menggunakan rumus an = a x r^(n-1), maka kita dapat menghitung suku ke-5 sebagai berikut:
an = a x r^(n-1)
a = 2 (suku pertama)
r = 3 (rasio)
n = 5 (urutan suku yang ingin dicari)
an = 2 x 3^(5-1) = 162
Jadi, suku ke-5 dari barisan geometri tersebut adalah 162.
Contoh Soal 2:
Diketahui sebuah barisan geometri dengan suku pertama 1 dan rasio 2. Hitunglah jumlah 4 suku pertama dari barisan tersebut.
Jawaban:
Menggunakan rumus Sn = a x ((1 – r^n) / (1 – r)), maka kita dapat menghitung jumlah 4 suku pertama sebagai berikut:
Sn = a x ((1 – r^n) / (1 – r))
a = 1 (suku pertama)
r = 2 (rasio)
n = 4 (jumlah suku yang ingin dicari)
Sn = 1 x ((1 – 2^4) / (1 – 2)) = 1 x (15 / -1) = -15
Jadi, jumlah 4 suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah -15.
Contoh Soal 3:
Diketahui sebuah barisan geometri dengan suku ke-3 sebesar 24 dan suku ke-5 sebesar 192. Tentukanlah suku pertama dan rasio dari barisan tersebut.
Jawaban:
Kita dapat menggunakan dua persamaan untuk menyelesaikan soal ini, yaitu:
a3 = a x r^(3-1)
a5 = a x r^(5-1)
Diketahui a3 = 24 dan a5 = 192, maka kita dapat menyelesaikan sistem persamaan tersebut sebagai berikut:
24 = a x r^2
192 = a x r^4
Dibagi persamaan (1) dengan (2), maka kita dapatkan:
24 / 192 = r^2 / r^4
1 / 8 = 1 / r^2
r^2 = 8
Substitusikan nilai r^2 ke persamaan (1), maka kita dapatkan:
24 = a x 8
a = 3
Jadi, suku pertama dari barisan geometri tersebut adalah 3 dan rasionya adalah 2.
Jenis-Jenis Deret Geometri Tak Hingga
Ada tiga jenis deret geometri tak hingga yang umum dikenal, yaitu:
1. Deret geometri konvergen
Deret geometri konvergen adalah deret geometri yang jumlah tak hingga (S) konvergen, artinya S memiliki batas dan dapat didekati dengan akurasi yang semakin tinggi seiring dengan penambahan suku pada deret. Dalam deret geometri konvergen, rasio antara dua suku berurutan (r) memiliki nilai mutlak kurang dari 1. Contoh deret geometri konvergen adalah 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … dengan rasio r = 1/2.
2. Deret geometri divergen
Deret geometri divergen adalah deret geometri yang jumlah tak hingga (S) divergen, artinya S tidak memiliki batas atau S terus menerus tumbuh tanpa henti seiring dengan penambahan suku pada deret. Dalam deret geometri divergen, rasio antara dua suku berurutan (r) memiliki nilai mutlak lebih besar dari atau sama dengan 1. Contoh deret geometri divergen adalah 1 + 2 + 4 + 8 + … dengan rasio r = 2.
3. Deret geometri oscilasi
Deret geometri oscilasi adalah deret geometri yang jumlah tak hingga (S) berfluktuasi antara dua nilai dan tidak memiliki batas. Dalam deret geometri oscilasi, rasio antara dua suku berurutan (r) memiliki nilai mutlak sama dengan 1. Contoh deret geometri oscilasi adalah 1 – 1 + 1 – 1 + … dengan rasio r = -1.
Perbedaan Barisan Geometri dan Deret Geometri
Barisan geometri dan deret geometri merupakan dua konsep matematika yang serupa namun berbeda. Berikut adalah perbedaan antara barisan geometri dan deret geometri:
1. Definisi
Barisan geometri adalah rangkaian bilangan yang setiap suku selanjutnya diperoleh dari suku sebelumnya dengan dikalikan dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio. Sedangkan deret geometri adalah hasil penjumlahan dari suatu barisan geometri.
2. Jumlah
Barisan geometri hanya memiliki suku-suku yang berurutan dan dapat dihitung secara individu. Sedangkan deret geometri merupakan hasil penjumlahan dari suku-suku yang berurutan pada suatu barisan geometri.
3. Rumus
Rumus untuk mencari suku ke-n pada barisan geometri adalah an = a x r^(n-1), di mana a adalah suku pertama, r adalah rasio, dan n adalah urutan suku yang dicari. Sedangkan rumus untuk mencari jumlah n suku pada deret geometri adalah Sn = a x ((1 – r^n) / (1 – r)), di mana a adalah suku pertama, r adalah rasio, dan n adalah jumlah suku.
4. Karakteristik
Barisan geometri dapat digunakan untuk memodelkan pertumbuhan yang berkelanjutan dalam jumlah atau kuantitas. Sedangkan deret geometri dapat digunakan untuk menghitung total atau jumlah dari suatu pertumbuhan atau kuantitas.
Dalam ringkasan, barisan geometri dan deret geometri terkait erat namun memiliki perbedaan yang signifikan dalam definisi, jumlah, rumus, dan karakteristik.
